Question

3．已知x²+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{3}$，y²+$\sqrt{2}$x=$\sqrt{3}$且x≠y，求$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的值．

Answer 1

分析 x²+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{3}$，y²+$\sqrt{2}$x=$\sqrt{3}$，且x≠y，可得（x²-y²）+$\sqrt{2}（y-x）$=0，x+y=$\sqrt{2}$．把y=$\sqrt{2}$-x代入x²+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{3}$，可得${x}^{2}-\sqrt{2}x$+2-$\sqrt{3}$=0．
同理可得：${y}^{2}-\sqrt{2}y+\sqrt{3}$=0，于是xy=$\sqrt{3}$．代入$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=$\frac{{y}^{2}+{x}^{2}}{xy}$=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$即可得出．

解答 解：∵x²+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{3}$，y²+$\sqrt{2}$x=$\sqrt{3}$，且x≠y，
∴（x²-y²）+$\sqrt{2}（y-x）$=0，
∵x≠y，
∴x+y=$\sqrt{2}$．
把y=$\sqrt{2}$-x代入x²+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{3}$，
可得${x}^{2}-\sqrt{2}x$+2-$\sqrt{3}$=0．
同理可得：${y}^{2}-\sqrt{2}y+\sqrt{3}$=0，
∵x≠y，
∴xy=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=$\frac{{y}^{2}+{x}^{2}}{xy}$=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$=$\frac{2-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}-6}{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、代数式的化简、乘法公式，考查了变形能力，计算能力，属于中档题．