Question

有下列命题：
①函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于y轴对称；
②若函数f（x+2010）=x²-2x-1（x∈R），则函数f（x）的最小值为-2；
③若函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）；
④若f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

是（-∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是（0，

1

3

）．
其中正确命题的序号是

②

．

Answer 1

分析：根据函数的对称性判断①，单调性、奇偶性判断③、图象的变换最值判断②，以及分段函数的单调性④，即可得到选项．

解答：解：①函数y=f （-x+2）与y=f （x-2）的图象关于x=2轴对称，故①不正确
②函数f（x）的最小值与函数f（x+2010）=x²-2x-1（x∈R）的最小值相等，故函数f（x）的最小值为-2，故②正确
③∵函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞1则a+1＞2
根据函数是偶函数则f（-2）=f（2）＜f（a+1），故③不正确
④由于f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

是（-∞，+∞）上的减函数，
则

0＜a＜1   3a-1＜0   3a-1+4a≤loga1

则a的取值范围是（0，

1

7

]．故④不正确
故答案为：②

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数的单调性、奇偶性、对称性等有关知识，属于基础题．