三棱锥P?ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC。
(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若PA=,PC与侧面APB所成角的余弦值为
,PB与底面ABC成60°角,求二面角B―PC―A的大小。
(1)证明详见解析;(2)60°
解析试题分析:(Ⅰ)先利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB,再利用面面垂直的判定定理证明平面PAB⊥平面PBC;(2)过A作则ÐEFA为所求.然后求出AB=
,PB=2
,PC=3及AE,AF,在Rt
AEF中求解即可.
试题解析: (1)证明:∵PA^面ABC,\PA^BC, ∵AB^BC,且PA∩AB=A,\BC^面PAB
而BCÌ面PBC中,\面PAB^面PBC. ……5分
(2)过A作
则ÐEFA为B?PC?A的二面角的平面角 8分
由PA=,在RtDPBC中,cosÐCPB=
.
RtDPAB中,ÐPBA=60°. \AB=,PB=2
,PC=3 \AE=
=
同理:AF= 10分
∴sin=
=
, 11分
∴=60°. 12分
另解:向量法:由题可知:AB=,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系 7分
B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,,0),P(0,
,
),假设平面BPC的法向量为
=(x1,y1,z1),
∴
取z1=,可得平面BPC法向量为
=(0,?3
,
) 9分
同理PCA的法向量为=(2,?
,0) 11分
∴cos<,
>=
=
,
所求的角为60° 12分
考点:1. 平面与平面垂直的判定;2.直线与平面所成的角和二面角.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2.点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点.
(1)当E点是AB中点时,求证:直线ME‖平面ADD1 A1;
(2)若二面角AD1EC的余弦值为.求线段AE的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥中,
平面ABCD,底面ABCD是菱形,
,
.
(1)求证:平面PAC;
(2)若,求
与
所成角的余弦值;
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
将边长为的正方形
和等腰直角三角形
按图拼为新的几何图形,
中,
,连结
,若
,
为
中点
(Ⅰ)求与
所成角的大小;
(Ⅱ)若为
中点,证明:
平面
;
(Ⅲ)证明:平面平面
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在三棱锥中,
平面
,
,
为侧棱
上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.
(1)证明:平面
;
(2)在的平分线上确定一点
,使得
平面
,并求此时
的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(如图1)在平面四边形中,
为
中点,
,
,且
,现沿
折起使
,得到立体图形(如图2),又B为平面ADC内一点,并且ABCD为正方形,设F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.
(1)求三棱锥的体积;
(2)在线段PC上是否存在一点M,使直线与直线
所成角为
?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
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