Question

17．函数f（x）=x²-2ax+a．
（1）若f（0）=1，求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值及最小值；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，1）上有最小值，试判断函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）求出a，利用二次函数的性质判断函数在在[-1，1]上递减，在[1，2]上递增，即可得出结论．
（2）已知函数的解析式，利用定义法进行证明即可．

解答 解：（1）∵f（0）=1，∴a=1，∴f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
∴f（x）在[-1，1]上递减，在[1，2]上递增，
∴f（x）_max=f（-1）=4，f（x）_min=f（1）=0；
（2）∵函数f（x）在区间（-∞，1）上有最小值，
∴a＜1，
函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{a}{x}$-2a在区间（1，+∞）上单调递增，
设1＜x₁＜x₂，
可得f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}{x}_{1}}$（a-x₁x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{a}{x}$-2a在区间（1，+∞）上单调递增．

点评 本题主要考查二次函数在闭区间上求最值问题，考查函数的单调性的判断与证明，属于中档题．