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在四棱锥P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,BC⊥AB,AD∥BC,AB=AD=2,CD⊥BD,异面直线PA,CD所成角等于60°
(1)求证:面PCD⊥面PBD;
(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在一点E使得二面角A-BE-D的余弦值为
6
6
?若存在,指出E在棱PA上的位置.若不存在,说明理由.
考点:二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)分别以BA,BC,BP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,由CD⊥PD,得C(0,4,0),异面直线PA和CD所成角等于60°,得P(0,0,2).求出平面PCD的法向量和平面PBD的法向量,由此能证明面PCD⊥面PBD.
(2)求出
PC
=(0,4,-2)和平面PAD的法向量,由此能求出直线PC和平面PAD所成角的正弦值.
(3)设
BE
=m
BA
+(1-m)
BP
=m(2,0,0)+(1-m)(0,0,2)=(2m,0,2-2m),0<m<1,求出平面ABE的法向量和平面DBE的法向量,由已知条件利用向量法能求出E(
4
3
,0,
2
3
).
解答: (1)证明:分别以BA,BC,BP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),D(2,2,0),设P(0,0,p),p>0,C(0,c,0),
CD
=(2,2-c,0),
PD
=(2,2,-p),
∵CD⊥PD,∴
CD
PD
=(2,2-c,0)•(2,2,-p)=4+2(2-c)=0,
解得c=4,∴C(0,4,0).
PA
=(2,0,-p),∵异面直线PA和CD所成角等于60°,
PA
CD
=(2,0,-p)•(2,-2,0)=4=
8(4+p2)
cos60°

由p>0,解得p=2,∴P(0,0,2).
PC
=(0,4,-2),
PD
=(2,2,-2),
PB
=(0,0,-2),
设平面PCD的法向量
n
=(x,y,z),
n
PC
=4y-2z=0
n
PD
=2x+2y-2z=0
,取y=1,得
n
=(1,1,2),
设平面PBD的法向量
m
=(a,b,c),
m
PB
=-2c=0
m
PD
=2a+2b-2c=0
,取a=1,得
m
=(1,-1,0),
m
n
=1-1+0=0,
∴面PCD⊥面PBD.
(2)解:∵
PC
=(0,4,-2),
PA
=(2,0,-2),
AD
=(0,2,0),
设平面PAD的法向量
p
=(u,v,t),
p
PA
=2u-2t=0
p
AD
=2v=0
,取u=1,得
p
=(1,0,1),
设直线PC和平面PAD所成角为θ,
sinθ=|cos<
PC
p
>|=
|
PC
p
|
|
PC
|•|
p
|
=
2
20
2
=
10
10

∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为
10
10

(3)解:设
BE
=m
BA
+(1-m)
BP
=m(2,0,0)+(1-m)(0,0,2)=(2m,0,2-2m),0<m<1,
平面ABE的法向量
q
=(0,1,0),
BD
=(2,2,0)

设平面DBE的法向量
v
=(x1,y1,z1),
v
BE
=2mx1+(2-2m)z1=0
v
BD
=2x1+2y1=0
,取z=m,得
v
=(m-1,1-m,m),
设二面角A-BE-D的平面角为α,
∵二面角A-BE-D的余弦值为
6
6

∴cosα=
|
q
v
|
|
q
|•|
v
|
=
|1-m|
3m2-4m+2
=
6
6

整理得3m2-8m+4=0,由0<m<1,解得m=
2
3

∴E(
4
3
,0,
2
3
).
点评:本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,线面角、面面垂直、二面角的概念、求法等知识,以及空间想象能力和逻辑推理能力.
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a
b
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A、
a
-2
b
与-
a
+2
b
B、3
a
-5
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不与6
a
-10
b
C、
a
-2
b
与5
a
+7
b
D、2
a
-3
b
1
2
a
-
3
4
b

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10
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A、
3
3
B、
3
2
C、
3
+
7
D、
3
+
7
+1

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