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(2013•徐州模拟)已知中心为O的正方形ABCD的边长为2,点M,N分别为线段BC,CD上的两个不同点,且|
MN
|=1,则
OM
ON
的取值范围是
[2-
2
,1]
[2-
2
,1]
分析:设M(2,b),N(a,2).由|
MN
|=1
,可得
(2-a)2+(b-2)2
=1
,即(a-2)2+(b-2)2=1.且1≤a≤2,1≤b≤2.如图所示,建立平面直角坐标系.
OM
ON
=(1,b-1)•(a-1,1)=a+b-2.作出可行域,即可得出答案.
解答:解:如图所示,建立平面直角坐标系.
设M(2,b),N(a,2).∵|
MN
|=1
,∴
(2-a)2+(b-2)2
=1
,即(a-2)2+(b-2)2=1.且1≤a≤2,1≤b≤2.
又O(1,1),∴
OM
ON
=(1,b-1)•(a-1,1)=a+b-2.
令a+b-2=t,则目标函数b=-a+2+t,
作出可行域
(a-2)2+(b-2)2=1
1≤a≤2
1≤b≤2
,如图2,其可行域是
1
4
圆弧.
①当目标函数与圆弧相切与点P时,
|-2+t|
2
=1
,解得t=2-
2
取得最小值;
②当目标函数经过点EF时,t=2+1-2=1取得最大值.
t∈[2-
2
,1]
.即为
OM
ON
的取值范围.
故答案为[2-
2
,1]
点评:本题综合考查了向量的模的计算公式、线性规划等基础知识,及数形结合思想方法.熟练掌握是解题的关键.
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2
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-
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-
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