【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间.
(Ⅱ)当时,设
的两个极值点
,
恰为
的零点,求
的最小值.
【答案】(I)当时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
,当
时,
的单调递增区间为
;(II)
.
【解析】
试题分析:(I)求出函数的导数,讨论
的取值,利用导数判断函数
的单调性与单调区间;(II)对函数
求导数,利用极值的定义得出
时存在两正根
、
;再利用判别式以及根与系数的关系,结合零点的定义,构造函数,利用导数即可求出函数
的最小值.
试题解析:(Ⅰ)函数
,
,
;
当时,由
解得
,即当
时,
,
单调递增;
由解得
,即当
时,
,
单调递减;
当时,
,即
在
上单调递增;
当时,
,故
,即
在
上单调递增;
当
时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
当时,
的单调递增区间为
; ...(5分)
(Ⅱ),则
,
的两根
、
即为方程
的两根;
又,
,
,
; ...(7分)
又,
为
的零点,
,
两式相减得,
得,
而,
, ...(10分)
令,
由得
,
因为,两边同时除以
,得
,
,故
,解得
或
,
; ...(12分)
设,
,则
在
上是减函数,
.
即的最小值为
...(14分)
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【题目】据悉遵义市红花岗区、汇川区2017年现有人口总数为110万人,如果年自然增长率为%,试解答以下问题:
(1)写出经过年后,遵义市人口总数
(单位:万人)关于
的函数关系式;
(2)计算10年以后遵义市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算经过多少年后遵义市人口将达到150万人(精确到1年)
(参考数据:
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【题目】已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)对任意x∈(0,+∞),恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】袋中有红、白两种颜色的小球共7个,它们除颜色外完全相同,从中任取2个,都是白色小球的概率为,甲、乙两人不放回地从袋中轮流摸取一个小球,甲先取,乙后取,然后再甲取……,直到两人中有一人取到白球时游戏停止,用X表示游戏停止时两人共取小球的个数。
(1)求;
(2)求。
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【题目】北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,
获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格在
.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(1)根据已知条件完成如图列联表,并据此资料判断你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列,期望
和方差
.
附:,其中
.
0.05 | 0.010 | |
3.74 | 6.63 |
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【题目】设函数的定义域为D,若函数
满足条件:存在
,使
在
上的值域为
,则称
为“倍缩函数”,若函数
为“倍缩函数”,则实数
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆:
的左焦点为
,其左、右顶点为
、
,椭圆与
轴正半轴的交点为
,
的外接圆的圆心
在直线
上.
(I)求椭圆的方程;
(II)已知直线:
,
是椭圆
上的动点,
,垂足为
,是否存在点
,使得
为等腰三角形?若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】某种产品的广告费用支出与销售额
之间有如下的对应数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图;并说明销售额y与广告费用支出x之间是正相关还是负相关?
(2)请根据上表提供的数据,求回归直线方程;
(3)据此估计广告费用为10时,销售收入的值.
(参考公式:,).
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