Question

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=-f（x），且在[-2，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：
（1）f（x）是周期函数；         
（2）f（x）在[0，2]上是增函数；
（3）f（x）在[2，4]上是减函数； 
（4）f（x）的图象关于直线x=2对称．
则正确的命题序号是

（1），（4）

．

Answer 1

分析：利用偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），式子中的x都被x+2代替可得（1）正确；
根据f（x）在[-2，0]上是增函数，偶函数在对称区间上单调性相反，利用条件可知（2）（3）不正确；
利用f（-x+2）=-f（-x）=f（x+2），可得f（x）的图象关于直线x=2对称，即（4）正确．

解答：解：∵定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），
∴式子中的x都被x+2代替可得：f（x+4）=-f（x+2）=f（x），利用函数周期的定义可知：该函数有周期T=4，即（1）正确；
∵f（x）在[-2，0]上是增函数，偶函数在对称区间上单调性相反，∴f（x）在[0，2]上是减函数；在[2，4]上是增函数，∴（2）（3）不正确；
∵f（-x+2）=-f（-x）=f（x+2），∴f（x）的图象关于直线x=2对称，即（4）正确．
故答案为：（1）（4）

点评：本题考查函数的周期的定义，偶函数在对称区间上单调性相反这一结论，考查学生分析解决问题的能力．