【题目】已知函数.
(1)若对
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)已知关于的方程
有两个实根
,求证:
.
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由得
,求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号,进而确定单调性,即得最小值
,最后利用导数得最小值函数单调性,确定最小值大于零恒成立(2)先根据零点条件解得
,根据零点存在条件得
范围,再化简不等式,构造函数
,利用导数确定函数单调性,求得最小值,即证得不等式
试题解析:(1)∵,
∴当时,
,不符合题意,
当时,
,此时
递增,
,此时
递减,
∴,
而是增函数,
,∴
.
(2)设,即
有两个零点
,
∵,
∴当时,
,则
递减,至多1个零点,不符合题意,
当时,
,此时
递增;
,此时
递减;
∴,解得
;
此时,又
,∴
,不妨设
,
由,两式相减得
,
则,
设,则
,下证
;
设,则
,
∴在
上递增,那么
,
所以,从而
,
又∵,∴
,故
.
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【题目】抛物线的图象关于轴对称,顶点在坐标原点,点
在抛物线上.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设直线的方程为
,若直线
与抛物线交于
两点,且以
为直径的圆过点
,求
的值.
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【题目】已知函数,
,且函数
是偶函数.
(1)求的解析式;.
(2)若不等式在
上恒成立,求n的取值范围;
(3)若函数恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点.
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【题目】已知圆的一条直角是椭圆
的长轴,动直线
,当
过椭圆
上一点
且与圆
相交于点
时,弦
的最小值为
.
(1)求圆即椭圆的方程;
(2)若直线是椭圆
的一条切线,
是切线上两个点,其横坐标分别为
,那么以
为直径的圆是否经过
轴上的定点?如果存在,求出定点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,曲线是以原点O为中心、
为焦点的椭圆的一部分,曲线
是以O为顶点、
为焦点的抛物线的一部分,A是曲线
和
的交点且
为钝角,若
,
.
(1)求曲线和
的方程;
(2)过作一条与
轴不垂直的直线,分别与曲线
依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问
是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.
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【题目】如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F分别是B1C1,AB,AA1的中点.
(1) 求证:EF∥平面A1BD;
(2) 若A1B1=A1C1,求证:平面A1BD⊥平面BB1C1C.
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