Question

已知函数f（x）=-x²+2x．
（1）讨论f（x）在区间（-∞，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）当x∈[0，5]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的图象可得函数在区间（-∞，1]上是单调增函数，再用函数单调性的定义进行证明即可；
（2）由函数的图象结合函数的单调性，不难得到f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=-x²+2x的图象是开口向下的抛物线，关于x=1对称，
∴函数在区间（-∞，1]上是单调增函数，证明如下
设x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+2x₁-（-x₂²+2x₂）=（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）
∵x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，得f（x₁）＜f（x₂），
因此f（x）在区间（-∞，1]上是单调增函数；
（2）∵f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，5）上是减函数
∴当x∈[0，5]时，f（x）的最大值为f（1）=1，最小值为f（5）=-15．

点评：本题给出一个二次函数，叫我们求它的单调区间和闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数单调性的定义等知识，属于中档题．