Question

已知函数的图象经过点（4，8）．
（1）求该函数的解析式；
（2）数列{a_n}中，若a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足a_n=f（S_n）（n≥2），
证明数列成等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）另有一新数列{b_n}，若将数列{b_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数b₁，b₂，b₄，b₇，…，构成的数列即为数列{a_n}，上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．

Answer 1

解（1）由函数的图象经过点（4，8）得：m=-2，
函数的解析式为（2分）
（2）由已知，当n≥2时，a_n=f（S_n），即．
又S_n=a₁+a₂++a_n，
所以，即2S_n+S_n•S_n-1=2S_n-1，（5分）
所以，（7分）
又S₁=a₁=1．
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知，
即．
所以当n≥2时，．
因此（9分）
（3）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为，
所以表中第1行至第12行共含有数列{b_n}的前78项，
故b₈₁在表中第13行第三列，（11分）
因此．
又，
所以q=2（13分）
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则（16分）
分析：（1）把点的坐标代入求出m即可求该函数的解析式；
（2）先利用条件求出．再把a_n换掉整理后即可证明数列成等差数列，然后利用求出的S_n来求数列{a_n}的通项公式；
（3）先求出b₈₁所在位置，再利用每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，求出公比，再代入求和公式即可．
点评：本题是对数列和函数的综合考查．涉及到等比数列的求和问题，在对等比数列求和时，一定要先判断公比的取值．