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    (本小题满分15分)  如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．

    （1）求证：平面；

    （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；

    （3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心．

    （1）证明见解析。

    （2）

    （3）


    解析:

    （1）证明：平面，．

    以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

    设，则．

    设，则．

    为的中点，．

    ，．

    ，平面．

    （2），即，，

    可求得平面的法向量．

    ．

    设与平面所成的角为，

    则．

    与平面所成的角的正弦值为．

    （3）的重心，，平面，．又，．．

    ，即．反之，当时，三棱锥为正三棱锥．

    在平面内的射影为的重心．

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    （Ⅱ）若求的最大值和最小值。

     

     

     

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    （Ⅰ）判断函数是否为“优美函数”？若是，求出；若不是，说明理由；

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    （1）第1次抽到理科题的概率；

    （2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；

    （3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率

     

     

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