Question

【题目】如图四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 为等边三角形，AABE是以 为直角的等腰直角三角形，且 .

（1）证明: 平面 平面BCE；
（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解：设O为BE的中点，连接AO与CO，因为ABCE为等边三角形，AABE是以 为直角的等腰直角三角形，则 .故由二面角的平面角的定义可知 是二面角 的平面角，设 ,则 ，在 中，因为 ，所以 ，即 ，也即二面角 的平面角为 ，故由面面垂直的定义可知平面 平面BCE.

（2）解：由（1）可知 两两互相垂直，设OE的方向为x轴正方向，OE为单位长，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 .则

,所以

.设 是平面 的法向量，则 ,即 ,所以可取 ,设 是平面 的法向量，则 ,同理可取 ,则 ,所以二面角 的余弦值为 .

【解析】(1)根据题意作出辅助线，即可证明 A O ⊥ B E , C O ⊥ B E ，从而找出 ∠ A O C 是二面角 A B E C 的平面角，在 Δ A O C 中借助边的关系以及勾股定理可得证 ∠ A O C = 900，即二面角 A B E C 的平面角为 900，故由面面垂直的定义可知平面 A B E ⊥ 平面BCE.(2)由已知根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面ADE和平面DEC的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。

【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定和空间向量的数量积运算的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；等于的长度与在的方向上的投影的乘积才能正确解答此题．