Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）求的单调区间及极值.

Answer 1

【答案】（1）a＝－2，b＝2．（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意结合切线方程得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得a＝－2，b＝2；

(2)结合(1)的结果可得原函数的导函数为f ′(x)＝(ex－2)(x－1)，利用导函数研究原函数可得f (x)的增区间为(－∞，ln2)与(1，＋∞)，减区间为(ln2，1)，

f (x)的极大值为f (ln2)＝－(2－ln2)2，极小值为f (1)＝－e＋1.

试题解析：

（1）f ′(x)＝ex(x＋a＋1)－2x＋b，

由已知可得f (0)＝a＝－2，f ′(0)＝a＋b＋1＝1，解得a＝－2，b＝2．

（2）f ′(x)＝(ex－2)(x－1)，由f ′(x)＞0得x＜ln2或x＞1，由f ′(x)＜0得ln2＜x＜1，

∴f (x)的增区间为(－∞，ln2)与(1，＋∞)，减区间为(ln2，1)，

∴f (x)的极大值为f (ln2)＝－(2－ln2)2，极小值为f (1)＝－e＋1.