Question

下列关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；
②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点．
其中真命题的序号

②③④

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则2要小于A、B为两个定点间的距离；
②正确．由题意可知点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其中a=5，c=3，由此能够推导出|PA|的最大值a+c．
③正确．方程2x²-5x+2=0的两根

1

2

和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④正确．双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1焦点坐标都是（±

34

，0）．

解答：解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则2要小于A、B为两个定点间的距离．当2大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．
②正确．设点P的坐标为（x，y），∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=6，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
其中a=5，c=3，则|PA|的最大值为a+c=8．
③正确．方程2x²-5x+2=0的两根分别为

1

2

和2，

1

2

和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
④正确．双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1焦点坐标都是（±

34

，0）．
故答案为：②③④．

点评：本题考查椭圆和双曲线的基本性质，考查了命题的真假判断与应用，解题时要准确理解概念．