【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(12分)
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.
【答案】
(1)
证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,∠BAP=∠CDP=90°,
∴AB⊥PA,CD⊥PD,
又AB∥CD,∴AB⊥PD,
∵PA∩PD=P,∴AB⊥平面PAD,
∵AB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)
解:设PA=PD=AB=DC=a,取AD中点O,连结PO,
∵PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,平面PAB⊥平面PAD,
∴PO⊥底面ABCD,且AD= = ,PO= ,
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为 ,
∴VP﹣ABCD=
= = = =8,
解得a=2,∴PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2 ,PO= ,
∴PB=PC= =2 ,
∴该四棱锥的侧面积:
S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC
= + + +
=
=6+2 .
【解析】(1.)推导出AB⊥PA,CD⊥PD,从而AB⊥PD,进而AB⊥平面PAD,由此能证明平面PAB⊥平面PAD.
(2.)设PA=PD=AB=DC=a,取AD中点O,连结PO,则PO⊥底面ABCD,且AD= ,PO= ,由四棱锥P﹣ABCD的体积为 ,求出a=2,由此能求出该四棱锥的侧面积.
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定,需要了解一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能得出正确答案.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与.当直线斜率为0时,.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
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【题目】已知集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0},则( )
A.A∩B={x|x< }
B.A∩B=?
C.A∪B={x|x< }
D.AUB=R
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【题目】已知向量,函数,
.
(1)当时,求的值;
(2)若的最小值为,求实数的值;
(3)是否存在实数,使函数,有四个不同的零点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(Ⅰ)证明:直线CE∥平面PAB;
(Ⅱ)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=ln(x﹣1)﹣kx+k+1.
(1)当k=1时,证明:f(x)≤0;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)证明: + +…+ < (n∈N* , 且n≥2).
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