Question

已知二次函数f（x）=（x-1）²，直线g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0
（n∈N^*）．（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的最值及相应的n．

Answer 1

分析：（1）先根据f（x）和g（x）的解析式化简，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0），得（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0再用构造法求出数列{a_n}的通项公式．
（2）根据f（x）和g（x）的解析式及数列{a_n}的通项公式化简b_n，再用二次函数求极值的方法求出数列{b_n}的最值及相应的n．

解答：解：（1）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，
∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0∴an+1-1=

3

4

(an-1)，a1-1=1数列a_n-1是首项为1，公比为

3

4

的等比数列
∴an-1=(

3

4

)n-1，an=(

3

4

)n-1+1
（2）b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）=3[(

3

4

)n-1]2-4(

3

4

)n=3{[(

3

4

)n-1]2-(

3

4

)n-1}
令bn=y，u=(

3

4

)n-1则y=3{(u-

1

2

)2-

1

4

}=3(u-

1

2

)2-

3

4

∵n∈N^*，
∴u的值分别为1，

3

4

，

9

16

，

27

64

，经比较

9

16

距

1

2

最近，
∴当n=3时，b_n有最小值是-

189

256

，当n=1时，b_n有最大值是0．

点评：此题考查数列和函数的综合应用，综合性强，做题时应认真审题，别丢条件．