Question

（1）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中的数据，求这个组合体的体积；
（2）已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，P为棱A₁B₁上一点，BC=10，CD=10，CC₁=4，求AP+PC₁的最小值．

Answer 1

分析：（1）几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是2，母线长是10，下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长为8的正方形，高是10，做出两个几何体的体积求和．
（2）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱A₁B₁上一动点，求AP+PC₁的最小值可将以A₁B₁为相交棱的两个侧面展开成一个平面，从平面上可以看出当三点A、P、C₁在一条直线上时，AP+PC₁的值最小，此时线段恰好是直角三角形的斜边．由勾股定理求值即可．

解答：解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，
上面是一个半圆柱，底面的半径是2，母线长是10，
∴半圆柱的体积是

1

2

×π×2²×8=16π
下面是一个四棱柱，
四棱锥的底面是边长为8的正方形，
四棱柱的高是10，
∴四棱柱的体积是8×8×10=640，
∴组合体的体积是16π+640
（2）将长方体的侧面沿棱A₁B₁展开成一个平面，则AP+PC₁的最小值即为线段AC₁的值，
又BC=10，CD=10，CC₁=4，故直角三角形ABC₁中两条直角边的长度分别为BC₁=14，AB=10，
由勾股定理得AC₁=

142+102

=2

37

，
即AP+PC₁的最小值为2

37

点评：本题（1）考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形，本题考查的几何体是一个组合体，上面的圆柱的一半比较特殊，需要仔细观察，圆柱的摆放方式和常见的摆放方式不同．
本题（2）考点是点、线、面间的距离计算，考查对长方体结构特征的了解，本题把求拆线长度的问题转变为求两点间距离的问题，将一个立体几何中求长度的问题转化为平面中两点线段的长度体现了数学中化归的思想，立体几何中的问题有不少都是借助化归思想将空间中的问题转化到平面中解决，大大降低了解题的难度．