Question

已知向量

m

=(cos2x+a，-1)，

n

=(1，

3

asinxcosx-2)，函数f（x）=

m

•

n

的图象关于x=

π

3

对称．
（1）求f（x）的解析式和单调递增区间；
（2）先将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，再将其纵坐标缩小到原来的

1

2

倍得到g（x）的图象，记函数y=g（x）-4tcosx-3t的最小值为h（t），求h（t）的解析式和最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积的运算法则求出函数f(x)=

m

•

n

的解析式，再由它的图象关于x=

π

3

对称，求出a的值进一步确定f（x）的解析式，从而求出f（x）的单调区间．
（2）由函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=cos2x+2的图象，从而求得函数y=g（x）-4tcosx-3t 的解析式，由此求得g（x）的最小值为h（t）的值．

解答：解：（1）∵f(x)=

m

•

n

=cos2x+a-

3

asinxcosx+2=cos2x-

3

2

asin2x+a+2．
又函数f(x)=

m

•

n

的图象关于x=

π

3

对称，
则 f（

π

3

）为函数的最值，故有|-

1

2

-

3

4

a|=

1+( 3 2 a)2

，∴a=2，
∴f(x)=2cos(2x+

π

3

)+4．
∵2kπ+π≤2x+

π

3

≤2kπ+2π，∴kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z．
 所以，f（x）的单调递增区间为：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．
（2）先将f（x）=2cos(2x+

π

3

)+4 的图象向右平移

π

6

个单位，可得y=2cos[2(x-

π

6

)+

π

3

]+4=2cos2x+4的图象，
再再将其纵坐标缩小到原来的

1

2

倍得到g（x）=cos2x+2的图象，
∴函数y=g（x）-4tcosx-3t=2cos²x-4tcosx-3t+1．
∴g（x）的最小值为h（t）=

t+3 ， t≤-1 -2t2-3t +1  ，  -1＜t＜1 -7t+3  ， t≥1

．
故当 t≤-1时，h（t）_max=2；-1＜t＜1时，h（t）_max=

17

8

； t≥1时，h（t）_max=-4．
综上可得，h（t）_max=

17

8

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性、单调性，由分段函数的解析式求函数的最大值，体现了
分类讨论的数学思想，属于中档题．