Question

若偶函数f（x）满足f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

），且在x∈[0，1]时，f（x）=x²，则关于x的方程f（x）=(

1

10

)x在[-2，3]上根的个数是（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．6个

Answer 1

分析：由条件可得函数f（x）的周期等于2，f（x）=x²，x∈[-1，1]．方程f（x）=(

1

10

)x在[-2，3]上根的个数就是函数y=f（x）与函数 y=(

1

10

)x的图象在[-2，3]上交点的个数．数形结合得到答案．

解答：解：∵偶函数f（x）满足f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

），
∴f（x）=f（x+2），故函数f（x）的周期等于2．
又∵在x∈[0，1]时，f（x）=x²，且f（x）是偶函数，可得f（x）=x²，x∈[-1，1]．
关于x的方程f（x）=(

1

10

)x在[-2，3]上根的个数就是函数y=f（x）与函数 y=(

1

10

)x的图象
在[-2，3]上交点的个数．
如图所示：函数y=f（x）与函数 y=(

1

10

)x的图象在[-2，3]上只有3个交点，
故选B．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．