Question

已知函数f（x）=2ln（x+1）+x²+ax．
（1）若a=0，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）图象上任意一点P处切线的倾斜角α为锐角，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=0代入函数解析式，求导后得到f′（1），再求得f（1），由直线方程的点斜式得答案；
（2）求出原函数的导函数，分离参数a后利用基本不等式求最值，则实数a的取值范围可求．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=2ln（x+1）+x²，
f′(x)=

2

x+1

+2x，则f′（1）=3．
又f（1）=2ln2+1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-2ln2=3（x-1），
整理得：3x-y+2ln2-3=0；
（2）由f（x）=2ln（x+1）+x²+ax，得
f′(x)=

2

x+1

+2x+a（x＞-1），
∵f（x）图象上任意一点P处切线的倾斜角α为锐角，
∴

2

x+1

+2x+a＞0，
即a＞-

2

x+1

-2x=-2[

1

x+1

+(x+1)-1]．
∵-2[

1

x+1

+(x+1)-1]≤-2．
∴要使f（x）图象上任意一点P处切线的倾斜角α为锐角，则a的范围是（-2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．