Question

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）
求：（1）求以向量

AB

，

AC

为一组邻边的平行四边形的面积S；
（2）若向量a分别与向量

AB

，

AC

垂直，且|a|=

3

，求向量a的坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知中空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），我们分别求出向量

AB

，

AC

，

BC

的坐标，进而根据它们三个的模相等，判断出三角形ABC为等边三角形，进而得到以向量

AB

，

AC

为一组邻边的平行四边形的面积S；
（2）根据（1）中结论，易向量

a

分别与向量

AB

，

AC

垂直，且|

a

|=

3

，设出向量

a

的坐标，进而构造方程组，解方程组即可求出向量

a

的坐标．

解答：解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）
∴

AB

=（-2，-1，3），

AC

=（1，-3，2），

BC

=（3，-2，-1）
∵|

AB

|=|

AC

|=|

BC

|=

14

∴△ABC为等边三角形，故以向量

AB

，

AC

为一组邻边的平行四边形的面积S=

3

2

(

14

)2=7

3

（2）设

a

=（x，y，z），由已知中向量

a

分别与向量

AB

，

AC

垂直，且|

a

|=

3

，
∴

-2x-y+3z=0 x-3y+2z=0 x2+y2+z2=3

解得x=y=z=±1

a

=（1，1，1）或

a

=（-1，-1，-1）

点评：本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．