Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，坐标原点O到过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线的距离为 ．又直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该椭圆交于不同的两点C，D．且C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆 =1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，

离心率e= = ，即2a2=3c2，

由题意可知：由△AOB的面积S= ab= ，整理得：a2b2= （a2+b2），

a2=b2+c2，

解得：a2=3，b2=1，c2=1，

∴椭圆的方程

（2）解：由（1）可知： ，消去y整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

△=36km﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0，解得：3k2＞m2﹣1，

设C（x1，y1），D（x2，y2）．CD的中点为P（x0，y0），

由韦达定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

则y1+y2=k（x1+x2）+2m= ，

由中点坐标公式可知：x0=﹣ ，y0= ，

∴P（﹣ ， ）

依题意，可知AP⊥CD，

∴kAPkCD=﹣1，代入坐标，整理得：3k2=2m﹣1

由①③以及2m﹣1＞0，可解得： ＜m＜2，

由②③，根据弦长公式可知：丨CD丨= 丨x1﹣x2丨= =

点A到CD的距离d= ，

∴S△ACD= d丨CD丨= ，且 ＜m＜2，

令f（x）=x+ ﹣x2（ ＜x＜2），

求导得′（x）=﹣ ﹣2x＜0，

∴f（x）在（ ，2）上单调递减，

∴S△ACD∈（0， ）．

△ABC面积的取值范围（0， ）．

【解析】（1）由椭圆 =1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，则离心率e= = ，即2a2=3c2 ， 根据三角形面积相等，求得a2b2= （a2+b2），由a2=b2+c2 ， 即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，求得3k2＞m2﹣1，根据韦达定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，利用中点坐标公式，求得P点坐标，由kAPkCD=﹣1，即可求得3k2=2m﹣1，代入，由弦长公式可知：丨CD丨= 丨x1﹣x2丨，点A到CD的距离d= ，则S△ACD= d丨CD丨= ，且 ＜m＜2，设f（x）=x+ ﹣x2（ ＜x＜2），求导，利用函数的单调性求得f（x）在（ ，2）上单调递减，即可求得△ABC面积的取值范围．