Question

19．设命题p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，命题q：实数x满足x²-5x+6＜0．
（1）若a=1且命题p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 记命题p：x∈A，命题q：x∈B
（1）由a=1时，求出A，B；通过p∧q为真，p，q均为真命题，求出则x的取值范围是（2，3）．
（2）求出A=（a，3a），B=（2，3），利用q是p的充分条件列出不等式$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3a≥3\end{array}\right.$，求解即可．

解答 记命题p：x∈A，命题q：x∈B
（1）由a=1时，A={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜3}…（2分）
因为p∧q为真，所以p，q均为真命题，…（4分）
则x∈A∩B…（6分）
所以x的取值范围是（2，3）…（7分）
（2）A=（a，3a），B=（2，3）
因为q是p的充分条件
所以知集合B⊆A…（10分）
则$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3a≥3\end{array}\right.$，…（13分）
解得1≤a≤2，综上所述：a的取值范围是[1，2]…（14分）

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及复合命题的真假，是基本知识的考查．