Question

已知函数()，其图像在处的切线方程为．函数，．

（1）求实数、的值；

（2）以函数图像上一点为圆心，2为半径作圆，若圆上存在两个不同的点到原点的距离为1，求的取值范围；

（3）求最大的正整数，对于任意的，存在实数、满足，使得．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由已知可先求出切点坐标和斜率，又切点在函数图象上，且在该处的导数等于切线的斜率，从而可列方程组为，故可求出实数的值；（2）根据题意可将问题转化为圆与以原点为圆心、1为半径的圆有两个不同交点，即两圆相交，考虑到两圆的半径差为1、和为3，所以两圆心距离的范围应为，再通过配方法，从而可求出实数的取值范围；（3）考虑到函数在区间上为减函数，又，所以，若，则对任意，有，即当时，要有，整理有，令，由函数的单调性、最值及零点可得，从而问题可得证，这题有一定难度.

试题解析：（1） 当时，，，故，解得． 3分

（2）问题即为圆与以为圆心1为半径的圆有两个交点，即两圆相交．设，则，即，，，

必定有解； 6分

，，

故有解，须，又，从而． 8分

（3）显然在区间上为减函数，于是，若，则对任意，有．

当时，，令，

则．令，则，故在上为增函数，又，，因此存在唯一正实数，使．故当时，，为减函数；当时，，为增函数，因此在有最小值，又，化简得，． 13分

下面证明：当时，对，有．

当时，．令，

则，故在上为减函数，于是．

同时，当时，．

当时，；当时，．

结合函数的图像可知，对任意的正数，存在实数、满足，使得．

综上所述，正整数的最大值为3． 16分

考点：1.函数单调性、最值；2.导数；3.圆的位置关系.