Question

5．已知a、b、c均为正实数，若$\frac{c}{a+b}$＜$\frac{a}{b+c}$＜$\frac{b}{a+c}$，求证：c＜a＜b．

Answer 1

分析 通过$\frac{c}{a+b}$＜$\frac{a}{b+c}$可知c（b+c）＜a（a+b），移项、提取公因式可知（a-c）（a+b+c）＞0，从而a＞c，同理通过$\frac{a}{b+c}$＜$\frac{b}{a+c}$可知b＞a．

解答 证明：∵0＜$\frac{c}{a+b}$＜$\frac{a}{b+c}$，
∴c（b+c）＜a（a+b），
∴a²-c²+ab-bc=（a-c）（a+b+c）＞0，
∵a、b、c均为正实数，
∴a＞c；
∵$\frac{a}{b+c}$＜$\frac{b}{a+c}$，
∴a（a+c）＜b（b+c），
∴b²-a²+bc-ac=（b-a）（a+b+c）＞0，
∵a、b、c均为正实数，
∴b＞a；
综上所述，c＜a＜b．

点评 本题考查不等式的证明，注意解题方法的积累，属于基础题．