Question

给出下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形的周长为5；    
②若向量

a

∥

b

且

b

∥

c

，则

a

∥

c

③设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ　（k∈Z）．则f（2012）+f（2013）=0．
④若直线l过点A（2，3），且垂直于向量a=（2，1），则其方程为2x+y-7=0
其中真命题的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①由弧长公式可求得半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形的弧长，可判断①的正误；
②若

b

=

0

，可判断②的正误；
③利用正弦函数与余弦函数的周期性可判断③；
④利用直线的点斜式方程可求得直线l的方程，从而可判断④的正误．

解答：解：①依题意，由弧长公式l=θr=2×

1

2

=1，
∴半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形的周长为2+2+1=5，①正确；
对于②，当

b

=

0

时，向量

a

∥

b

且

b

∥

c

，则不能⇒

a

∥

c

，故②错误；
③∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），
∴f（2012）+f（2013）
=asin（2012π+α）+bcos（2012π+β）+asin（2013π+α）+bcos（2013π+β）
=asinα+bcosβ-asinα-bcosβ=0，故③正确；
④∵直线l过点A（2，3），且垂直于向量a=（2，1），
∴直线l的斜率为-2，由点斜式得直线l的方程为：y-3=-2（x-2），整理得2x+y-7=0．故④正确．
∴真命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查弧长公式、向量的性质、三角函数的周期性及直线的点斜式方程，属于中档题．