Question

已知函数g（x）="aln" x·f（x）=x³ +x²+bx
（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）;（3）详见解析.

试题分析：（1）先求函数的导数，因为在区间不单调，所以导函数的值不恒大于或小于0，即函数的最大值大于0，函数的最小值小于0，即不单调；
（2）根据条件化简得，，，求出， 的最小值即可确定的范围,首先对函数求导，确定单调性，求出最值；
（3）先假设曲线上存在两点满足题意，设出，则，从而由是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形可建立关系式，分情况求解即可．
试题解析：（1）由
得   因在区间[1，2]上不是单调函数
所以在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0

     ∴              4分
（2）由，得．
，且等号不能同时取，，即 
恒成立，即          6分
令，求导得，，
当时，，从而，
在上为增函数，，
．                      8分
（3）由条件，，
假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，  9分
不妨设，则，且．
是以为直角顶点的直角三角形，，
  （*），
是否存在，等价于方程在且时是否有解．
①若时，方程为，化简得，此方程无解；       12分
②若时，方程为，即，
设，则，
显然，当时，，即在上为增函数，
的值域为，即，当时，方程（*）总有解．
对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．    14分