Question

如图，半径R=3的球O中有一内接圆柱，设圆柱的高为h，底面半径为r．
（Ⅰ）当h=4时，求圆柱的体积与球的体积；
（Ⅱ）当圆柱的轴截面ABCD的面积最大时，求h与r的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作OO'⊥AB，利用圆柱的高和底面半径之间的关系建立方程关系，求出圆柱的高和半径，即可求圆柱的体积与球的体积；
（Ⅱ）根据基本不等式求出圆柱的轴截面ABCD的面积最大时的条件，即可求出h与r的值．

解答：解：（Ⅰ）当h=4时，OO'=

R2-r2

=

h

2

=2，
∴9-r²=4，r²=5，
∴球的体积为

4

3

π×33=36π，
圆柱的体积为πr²•h=4×5π=20π．
（Ⅱ）∵OO'=

R2-r2

=

9-r2

，
∴AD=h=2

9-r2

，
∴圆柱的轴截面ABCD的面积为2r•2

9-r2

=4

r2•(9-r2)

≤4

r2

•

9-r2

≤4×

r2+9-r2

2

=18，
当且仅当r²=9-r²，即r2=

9

2

，r=

3 2

2

时取等号，
此时h=2

9-r2

=2×

3 2

2

=3

2

．

点评：本题主要考查球的体积公式和圆柱的体积的计算，利用条件建立圆柱的高和球半径之间的关系是解决本题的关键．