Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f（x）=x³-ax²+bx-c=0有三个实根x₁，x₂，x₃．
（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知，x³+ax²-bx+c=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），比较两边系数，即得结果；
（2）由已知f′（x）=3x²-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，因为-1＜α＜0＜β＜1，根据实根分布，列出关于c的不等关系，解之得此方程三个根两两不等时c的取值范围．

解答：解：（1）由已知，得x³-ax²+bx-c=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），比较两边系数，
得a=x₁+x₂+x₃，b=x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁，c=x₁x₂x₃．          …（4分）
（2）令f（x）=x³-ax²+bx-c，要f（x）=0有三个不等的实数根，则函数f（x）有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0．  …（5分）
由已知，得f′（x）=3x²-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，
∵-1＜α＜0＜β＜1，
∴

f′(-1)=3+2a+b＞0  (1) f′(0)=b＜0 (2) f′(1)=3-2a+b＞0(3)

得-3＜b＜0．…（6分）
又|b|＜2，b∈Z，∴b=-1，将b=-1代入（1）（3），有-1＜a＜1，又a∈Z，∴a=0．
∴f（x）=x³-x-c，f′（x）=3x²-1，…（8分）
则α=-

3

3

，β=

3

3

，且f（x）在x=-

3

3

处取得极大值，在x=

3

3

处取得极小值…（10分）      
故f（x）=0要有三个不等的实数根，
则必须

f(- 3 3 )=(- 3 3 )3-(- 3 3 )-c＞0 f( 3 3 )=( 3 3 )3- 3 3 -c＜0

…（12分）
⇒

c＞- 2 3 9 c＜ 2 3 9

，
解得-

2 3

9

＜c＜

2 3

9

．                                         …（14分）

点评：本小题主要考查类比推理、函数在某点取得极值的条件、一元二次方程的根的分布与系数的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．