Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），且当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4，（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值     ．（判断符号）

Answer 1

【答案】分析：题设中条件众多，欲判断f（x₁）+f（x₂）的符号，有两种可能一是-f（x₁）＞f（x₂），一是-f（x₁）＜f（x₂），又f（-x）=-f（x+4），令x=-x₁，即得f（x₁）=-f（4-x₁），由此问题转化为比较f（4-x₁）与f（x₂）的大小比较，由题设条件易证
解答：解：设x₁＜x₂，由（x₁-2）（x₂-2）＜0
得x₁＜2，x₂＞2，再由x₁+x₂＜4得
4-x₁＞x₂＞2，
因为x＞2时，f（x）单调递增，
所以f（4-x₁）＞f（x₂），
又f（-x）=-f（x+4），取x=-x₁得f（x₁）=-f（4-x₁），
所以-f（x₁）＞f（x₂），
即f（x₁）+f（x₂）＜0，
故答案为恒为负
点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查根据抽象函数的性质进行灵活变形，转化证明的能力，本题对灵活转化的能力要求较高，依据条件灵活转化是一种数学素养较高的表现．