Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，左、右焦点分别为F₁、F₂，过右焦点F₂的直线与椭圆交于P、Q两点，且△PQF₁的周长为4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线与椭圆C相交于A，B两点．且|AB|=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求△AF₂B的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，△PQF₁的周长为4a=4$\sqrt{3}$，求出a，b，c，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线AB的方程为y=k（x+$\sqrt{2}$），代入椭圆方程，利用|AB|=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，结合韦达定理，求出k的值，再求出点F₂到直线AB的距离，|AB|，即可求△AF₂B的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，…（1分）
∵过右焦点F₂的直线与椭圆交于P、Q两点，且△PQF₁的周长为4$\sqrt{3}$．
∴4a=4$\sqrt{3}$．
故a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$…（3分）
故b=1．…（4分）
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）若直线AB的方程为x=-$\sqrt{2}$，则|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，不符合题意．
设直线AB的方程为y=k（x+$\sqrt{2}$），代入椭圆方程消去y得（1+3k²）x²+6$\sqrt{2}$k²x+6k²-3=0，…（6分）
显然△＞0成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{6\sqrt{2}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$…（7分）
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{12{k}^{2}+12}}{1+3{k}^{2}}$．…（9分）
由已知$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{12{k}^{2}+12}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（10分）
当k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（x+$\sqrt{2}$），即x-$\sqrt{5}$y+$\sqrt{2}$=0，
点F₂到直线AB的距离d=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（11分）
所以△AF₂B的面积=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{3}{2}$．…（12分）
同理，当k=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，△AF₂B的面积也等于$\frac{3}{2}$．
综上，△AF₂B的面积等于$\frac{3}{2}$．…（13分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查三角形面积的计算，属中档题．