Question

如图所示，已知椭圆C₁：

x2

10

+

2y2

5

=1，C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有相同的离心率，F（-

3

，0）为椭圆C₁的左焦点，过点F的直线l与C₁、C₂依次交于A、C、D、B四点．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）求证：无论直线l的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求得椭圆C₁的离心率，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆椭圆C₂的方程；
（2）当直线l垂直于x轴时，可得A，B，C，D的坐标，计算即可得到|AC|=|BD|；当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+

3

），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，再由中点坐标即可得到|AC|=|BD|；
（3）若|AC|=1，由（2）得，|AB|=|CD|+2，当直线l垂直于x轴时，不满足题意；当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+

3

），由（2）运用弦长公式，化简整理，得到8k⁴-2k²-1=0，解方程即可得到．

解答： （1）解：椭圆C₁：

x2

10

+

2y2

5

=1的离心率为

10- 5 2 10

=

3

2

，
对于C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的c=

3

，由条件得，

c

a

=

3

2

，则a=2，b=1，
则椭圆C₂的方程为：

x2

4

+y²=1；
（2）证明：当直线l垂直于x轴时，可得A（-

3

，-

7

2

），B（-

3

，

7

2

），C（-

3

，-

1

2

），D（-

3

，

1

2

）
即有|AC|=|BD|；
当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+

3

），
由

y=k(x+ 3 ) x2 10 + 2y2 5 =1

消去y，得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-10=0，
由

y=k(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

消去y，得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则x₁+x₂=x₃+x₄=-

8 3 k2

1+4k2

，即有AB，CD的中点重合，则有|AC|=|BD|．
故无论直线l的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|；
（3）解：若|AC|=1，
由（2）得，|AB|=|CD|+2，
当直线l垂直于x轴时，不满足题意；
当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+

3

），
由（2）得，x₁+x₂=x₃+x₄=-

8 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

12k2-10

1+4k2

，x₃x₄=

12k2-4

1+4k2

，
则|CD|=

(1+k2)((x3+x4)2-4x3x4

=

(1+k2)(( -8 3 k2 1+4k2 )2- 48k2-16 1+4k2 )

=

4(1+k2)

1+4k2

，
同理，|AB|=

(1+k2)((x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)(( -8 3 k2 1+4k2 )2- 48k2-40 1+4k2 )

=

8(1+k2)(14k2+5)

1+4k2

，
则有

4(1+k2)

1+4k2

+2=

8(1+k2)(14k2+5)

1+4k2

，

化简可得，8k⁴-2k²-1=0，解得k²=

1

2

，
则有k=±

2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查直线方程的设法，以及化简整理的运算能力和推理能力，具有一定的运算量，属于难题．