Question

已知函数f（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-x+1，x∈R
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）已知x∈R，求函数f（sinx）的最大值和最小值．
（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式，求出导函数的值，进而分析函数的单调性和极值点，代入函数的解析式可得函数f（x）的极大值和极小值；
（2）由正弦函数值域可得sinx∈[-1，1]，结合（1）中函数的单调性分析函数f（x）在区间[-1，1]上的极值和端点的函数值，对照后可得答案．
（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，故函数g（x）只有一个零点，即函数g（x）的极大值与极小值同号．

解答：解；（1）∵f（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-x+1，
∴f′（x）=2x²-x-1，
令f′（x）=0，则x=-

1

2

或x=1
由x＜-

1

2

或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；
-

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；
故当x=-

1

2

时，函数f（x）的极大值

31

24

当x=1时，函数f（x）的极小值

1

6

（2）令t=sinx，t∈[-1，1]
则f（sinx）=f（t）=

2

3

t3-

1

2

t2-t+1
由（1）可得f（t）在[-1，-

1

2

]上单调递增，在[-

1

2

，1]上单调递减
又∵f（-1）=

5

6

，f（-

1

2

）=

31

24

，f（1）=

1

6

故函数f（sinx）的最大值为

31

24

，最小值为

1

6

（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，
则函数g（x）的极大值

31

24

+a与极小值

1

6

+a同号
即（

31

24

+a）（

1

6

+a）＞0
解得a＜-

31

24

或a＞-

1

6

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的最值，利用导数求极值，函数的零点，是导函数问题的综合应用，难度中档．