已知函数在
与
时,都取得极值。
(1)求的值;
(2)若,求
的单调区间和极值;
(3)若对都有
恒成立,求
的取值范围。
解:(1)f ′(x)=3x2+2a x+b=0.
由题设,x=1,x=-为f ′(x)=0的解.
-a=1-
,
=1×(-
).∴a=-
,b=-2……………………………………4分
经检验得:这时与
都是极值点.…………………………………5分
(2)f (x)=x3-x2-2 x+c,由f (-1)=-1-
+2+c=
,c=1.
∴f (x)=x3-x2-2 x+1.
∴ f (x)的递增区间为(-∞,-),及(1,+∞),递减区间为(-
,1).
当x=-时,f (x)有极大值,f (-
)=
;
当x=1时,f (x)有极小值,f (1)=-……………………………………………10分
(3)由(1)得,f ′(x)=(x-1)(3x+2),f (x)=x3-x2-2 x+c,
f (x)在[-1,-及(1,2]上递增,在(-
,1)递减.
而f (-)=-
-
+
+c=c+
.f (2)=8-2-4+c=c+2.
∴ f (x)在[-1,2]上的最大值为c+2.∴ ,∴
∴ 或
∴
或
…………………16分
解析
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