Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{|x-1|+|x-2|-a}$的定义域为R．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当正数m，n满足m+2n=a_max时，求$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|≥2，可得a≤2；
（2）可得正数m，n满足m+2n=2，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（m+2n）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$），由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵|x-1|+|x-2|表示x到1和2的距离之和，
由绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|≥2，
∵函数f（x）=$\sqrt{|x-1|+|x-2|-a}$的定义域为R，
∴实数a的取值范围为a≤2；
（2）∵正数m，n满足m+2n=a_max=2，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（m+2n）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）
≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{2m}{n}}$）=$\frac{9}{2}$
当且仅当$\frac{2n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即m=n=$\frac{2}{3}$时取等号，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及函数定义域和恒成立，属中档题．