Question

9．如图，抛物线C₁：y²=2px（p＞0）和圆C₂：（x-1）²+y²=r²（r＞0），M为圆C₂的圆心，过抛物线C₁的焦点F的直线y=k（x-$\frac{p}{2}$）与C₁交于A，B两点，与圆C₂交与C，D两点（点C在A，B之间）且△AOF的外心到抛物线C₁的准线的距离为$\frac{3}{4}$．
（I）求抛物线C的方程
（Ⅱ）若圆C₂：（x-1）²+y²=$\frac{33}{8}$，且|AC|=|BD|，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线方程求出其准线方程，结合△AOF的外心到抛物线C₁的准线的距离为$\frac{3}{4}$求得p，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）写出过抛物线C₁的焦点F的直线y=k（x-$\frac{1}{2}$），由|AC|=|BD|，得|AB|=|CD|，联立直线与抛物线方程，求出|AB|，再由直线和圆的位置关系求出|CD|，由|AB|=|CD|，得到关于k的方程，求出k后可得直线方程．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线C₁：y²=2px（p＞0），得其准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∵△AOF的外心到抛物线C₁的准线的距离为$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{p}{4}-（-\frac{p}{2}）=\frac{3p}{4}=\frac{3}{4}$，则p=1．
∴抛物线方程为y²=2x；
（Ⅱ）抛物线方程为y²=2x，圆的方程为（x-1）²+y²=$\frac{33}{8}$，过抛物线C₁的焦点F的直线y=k（x-$\frac{1}{2}$），
∵|AC|=|BD|，∴|AB|=|CD|，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，可得kx²-$（{k}^{2}+2）x+\frac{1}{4}{k}^{2}=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+1=\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}+1=\frac{2（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$．
又M（1，0），r=$\sqrt{\frac{33}{8}}$．
点M（1，0）到$kx-y-\frac{k}{2}=0$的距离d=$\frac{|k-\frac{k}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{|k|}{2\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
$|CD|=2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{\frac{33}{8}-\frac{{k}^{2}}{4（{k}^{2}+1）}}$=$2\sqrt{\frac{31{k}^{2}+33}{8（{k}^{2}+1）}}$．
∵|AB|=|CD|，
∴$\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}}=\sqrt{\frac{31{k}^{2}+33}{8（{k}^{2}+1）}}$
由观察法可知：k²=1．∴k=±1．
∴AB：$y=x-\frac{1}{2}$或$y=-x+\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，属于难题．