设椭圆C:(a〉b>0)的左焦点为
,椭圆过点P(
)
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点D(l,0),直线l:与椭圆C交于A、B两点,以DA和DB为邻边的四边形是菱形,求k的取值范围.
解 (1)由题意知,b2 = a2-3,由
得 2a4-11a2 + 12 = 0,
所以(a2-4)(2a2-3)= 0,得 a2 = 4或(舍去),
因此椭圆C的方程为. ……………… 4分
(2)由 得
.
所以4k2 + 1>0,,
得 4k2 + 1>m2. ① ……………… 6分
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),
则,
,
于是 ,
,
.
设菱形一条对角线的方程为,则有 x =-ky + 1.
将点M的坐标代入,得 ,所以
. ②
将②代入①,得,
所以9k2>4k2 + 1,解得 k∈. ……………… 12分
法2:
则由菱形对角线互相垂直,即直线l与
垂直,由斜率的负倒数关系可整理得
,即-3km = 4k2 + 1,即
, 代入①即得.
法3: 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),
则,
,于是,两式相减可得
,
即 x0 + 4ky0 = 0. ①
因为 QD⊥AB,所以 . ②
由①②可解得 ,
,表明点M的轨迹为线段
(
).
当,k∈(
,+∞);当
,k∈(-∞,
).
综上,k的取值范围是k∈.
解析
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知直线上有一个动点
,过点
作直线
垂直于
轴,动点
在
上,且满足
(
为坐标原点),记点
的轨迹为
.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线是曲线
的一条切线, 当点
到直线
的距离最短时,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的左、右焦点分别为
,上顶点为
,离心率为
,在
轴负半轴上有一点
,且
(Ⅰ)若过三点的圆恰好与直线
相切,求椭圆C的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,过右焦点作斜率为
的直线
与椭圆C交于
两点,在
轴上是否存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的取值范围;否则,请说明理由.
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(本题满分15分) 如图,椭圆C: x2+3y2=3b2 (b>0).
(Ⅰ) 求椭圆C的离心率;
(Ⅱ) 若b=1,A,B是椭圆C上两点,且| AB | =,求△AOB面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
.(本题满分14分)已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,椭圆短半轴长为1,动点
在直线
上。
(1)求椭圆的标准方程
(2)求以线段OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作直线OM的垂线与以线段OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知某椭圆的焦点F1(-4,0),F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦AC中点的横坐标.
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