【题目】已知函数,.
(Ⅰ)若,求实数取值的集合;
(Ⅱ)当时,对任意,,令,证明.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(I)f′(x).(x>0).对a分类讨论即可得出单调性极值与最值.进而得出a的取值集合;(II)当a=0时,f(x)=lnx,则,由(I)可知:lnx1≥0,(x>0).根据0<x1<x2,可得1,ln1,即可证明.由(I)可知:lnx<x﹣1,(x>1).同理可证明:.
(Ⅰ)由已知,有.
当时,,与条件矛盾;
当时,若,则,单调递减;
若,则,单调递增.
∴在上有最小值.
由题意,∴.
令.∴.
当时,,单调递增;当时,,单调递减.
∴在上有最大值.∴.
∴.
∴,∴,
综上,当时,实数取值的集合为.
(Ⅱ)当时,,则.
由(Ⅰ),可知.
∴(当且仅当时取等号). ①
∵,∴.∴,∴
由①式可得当时,有.
∵,∴.
∴.
综上所述,有,∴.
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【题目】已知双曲线C和椭圆1有公共的焦点,且离心率为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程.
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【题目】已知抛物线C:=2px经过点(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设O为原点,,,求证:为定值.
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【题目】如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确是( )
A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面
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【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中,随机抽取了100位客户的数据,并将这100个数据按学时数,客户性别等进行统计,整理得到如表:
学时数 |
| ||||||
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果保留小数点后两位);
(2)从这100位客户中,对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求这2人购买的学时数都不低于15的概率.
(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”,25学时以下者视,为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关?
非十分爱好该课程者 | 十分爱好该课程者 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 | 100 |
附:,
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位:)的最小值为( )
A. B. C. D.
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【题目】给出下列四个命题
①已知为椭圆上任意一点,,是椭圆的两个焦点,则的周长是8;
②已知是双曲线上任意一点,是双曲线的右焦点,则;
③已知直线过抛物线的焦点,且与交于,,,两点,则;
④椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点,是它的焦点,长轴长为,焦距为,若静放在点的小球(小球的半径忽略不计)从点沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点时,小球经过的路程恰好是.
其中正确命题的序号为__(请将所有正确命题的序号都填上)
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