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已知函数f(x)都任意的a、b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且x>0时,f(x)>1.
(1)判定f(x)在R上的单调性;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

解:(1)任取x1<x2,可得x2-x1>0.
∵x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1.
因此,f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1),
即f(x1)<f(x2),
∴f(x)是R上的增函数.
(2)∵f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.
因此,f(3m2-m-2)<3=f(2).
又由(1)的结论知,f(x)是R上的增函数,
∴3m2-m-2<2,化简得3m2-m-4<0,解之得-1<m<
所以不等式f(3m2-m-2)<3的解集为(-1,
分析:(1)任取x1<x2,得x2-x1>0.由当x>0时f(x)>1,得到f(x2-x1)>1,再对f(x2)按照题中对应法则变形,化简得到f(x1)<f(x2),可得f(x)是R上的增函数.
(2)由f(4)=f(2)+f(2)-1算出得f(2)=3,因此将f(3m2-m-2)<3转化为f(3m2-m-2)<f(2),由(1)中的单调性结论,解关于x的一元二次不等式,即可得到所求不等式的解集.
点评:本题给出抽象函数,证明函数的单调性并求关于x的不等式的解集,着重考查了函数的单调性、一元二次不等式的解法和抽象函数的理解等知识点,属于中档题.
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A、
9
16
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9
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7
16
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