Question

已知函数f（x）=log₂

x+2

x-2

（x＞2）．
（1）证明函数f（x）在（2，+∞）为减函数；
（2）解关于x的不等式f（x）＜f（5）．

Answer 1

分析：（1）在定义域内任取两个自变量2＜x₂＜x₁，化简f（x₁）-f（x₂）的结果，把此结果和0作对比，依据单调性的定义做出判断．
（2）利用（1）证得的函数的单调性和定义域解此不等式．

解答：解：（1）证明：任取2＜x₂＜x₁，
f（x₁）-f（x₂）=log₂

x1+2

x1-2

-log₂

x2+2

x2-2

=log₂

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

令u=

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

，u-1=

4(x2-x1)

(x1-2)(x2+2)

∵2＜x₂＜x₁得u-1＜0，
因此u＜1得log₂

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在（2，+∞）上为单凋减函数．（9分）
（2）解：由（1）可得f（x）在（2，+∞）上为单凋减函数，
∴不等式f（x）＜f（5）
⇒x＞5．

点评：本题考查证明函数的单调性的方法，以及利用对数函数的单调性和定义域解对数不等式．属于基础题．