Question

已知三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，若将此三棱锥沿侧棱展成平面图形恰好可以形成一个边长为a的正方形.

(Ⅰ)求证：顶点S在底面ABC的射影O是底面△ABC的垂心；

(Ⅱ)求SC与底面ABC所成的角的大小.

Answer 1

解：(Ⅰ)作SO⊥平面ABC,连接AO、BO,

因为侧棱SA、SB、SC两两垂直,易证SA⊥平面SBC、SB⊥平面SAC、SC⊥平面SAB. 

所以SA⊥BC,由三垂线定理的逆定理,AO⊥BC,同理可证BO⊥AC.所以O为高线的交点,即为△ABC垂心. 

(Ⅱ)连接CO,则∠SCO为SC与底面ABC所成的角. 

由于三棱锥的展开图成边长为a的正方形,则B、C分别为SS′和SS″的中点,即SB=SC=,所以SA=a,AB=AC=a,BC=a. 

延长CO交AB于D,连接SD.因为CO⊥AB,根据三垂线定理,SD⊥AB

在三角形SAB中,∠ASB=90°,SB=,SA=a,AB=a,所以SD=a

所以,tan∠SCO=tan∠SCD==

即SC与底面ABC所成的角的大小为arctan