Question

（得分不计入总成绩）已知二次函数，若不等式的解集为.

（1）求集合；

（2）若方程在上有解，求实数的取值范围；

（3）记在上的值域为，若，的值域为，且

，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）C=[-1，1] （2）或a≥5；（3）

【解析】第一问中，利用绝对值不等式求解得到解集，

当x≥0时，

当x<0时，

第二问中，方程在上有解，即令a^x=u

设    ∵

当a>1时，，h(u)=0在上有解

当0<a<1时，，h(u)=0在上有解，

所以∴当或a≥5时，方程在C上有解，且有唯一解。

第三问中，,

t≤0时，，函数在x∈[0，1]单调递增，

∴ 函数g(x)的值域所以则有

从而得到范围。

解：(1) f(x)+f(-x)=2x²

当x≥0时，

当x<0时，

∴集合C=[-1，1]                                          ------------2分

(2)，令a^x=u

设    ∵

当a>1时，，h(u)=0在上有解，

则                     ------------4分

当0<a<1时，，h(u)=0在上有解，

则                                  -------------6分

∴当或a≥5时，方程在C上有解，且有唯一解。     -------------7分

(3),

①当t≤0时，，函数在x∈[0，1]单调递增，

∴ 函数g(x)的值域，

，         --------9分

②当t≥1，，函数g(x)在区间[0,1]单调递减，

  

又t≥1，所以t≥4                                       ----------11分

③当0<t<1时，令得（舍去负值），

当时，，当时，．

∴函数g(x)在单调递增；在单调递减，g(x)在达到最小值。

要使，则

，无解。                        -------------14分

综上所述：t的取值范围是。             -------------15分