Question

设定义在［x₁,x₂］上的函数y=f(x)的图象为C,C的端点为点A、B,M是C上的任意一点,向量=(x₁,y₁),=(x₂,y₂),=(x,y),若x=λx₁+(1-λ)x₂,记向量=λ+(1-λ).现在定义“函数y=f(x)在［x₁,x₂］上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立,其中k是一个人为确定的正数.

(1)证明0≤λ≤1;

(2)请你给出一个标准k的范围,使得［0,1］上的函数y=x²与y=x³中有且只有一个可在标准k下线性近似.

Answer 1

解:(1)证明:由题意,x₁≤x≤x₂,即x₁≤λx₁+(1-λ)x₂≤x₂,

∴x₁-x₂≤(x₁-x₂)λ≤0.∵x₁-x₂＜0,∴0≤λ≤1.

(2)由=λ+(1-λ)得到BN=λBA,

∴B、N、A三点在一条直线上.又由(1)的结论,N在线段AB上且与点M的横坐标相同.

对于［0,1］上的函数y=x²,A(0,0),B(1,1),

则有||=x-x²=-(x)²,故|MN|∈［0,］;

对于［0,1］上的函数y=x³,则有||=x-x³=g(x),

在(0,1)上,g′(x)=1-3x²,可知在(0,1)上y=g(x)只有一个极大值点x=,

所以函数y=g(x)在(0,)上是增函数;在(,1)上是减函数,又g()=,

故| |∈［0, ］.

经过比较, ＜,所以取k∈［,),则有函数y=x²在［0,1］上可在标准k下线性近似,函数y=x³在［0,1］上不可在标准k下线性近似.