Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2-2a2x+1   (a＞0)
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围；
（3）已知不等式f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值．
（2）先求出极大值与极小值，要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零即可．
（3）先进行化简，然后变量分离，转化成x＞

2a2+1

1-a

对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于

2a2+1

1-a

的最大值，利用基本不等式研究函数的最大值，求出变量x的范围即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-ax-2a²，令f′（x）=x²-ax-2a²=0，则  x=-a或x=2a
f′（x）=x²-ax-2a²＞0时，x＜-a或x＞2a
x=-a时，f（x）取得极大值f（-a）=

7

6

a3+1，x=2a时，f（x）取极小值
f（2a）=-

10

3

a3+1
（2）要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，由（1）的极值可得

7 6 a3 +1＞0 - 10 3 a3+1＜0

解之得a＞

3	3 10

=

3 300

10

（3）要使f′（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立
即x²-ax-2a²＜x²-x+1，
（1-a）x＜2a²+1
∵a∈（1，+∞）∴1-a＜0
x＞

2a2+1

1-a

对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于

2a2+1

1-a

的最大值
∵

2a2+1

1-a

=-

2(a-1)2+4(a-1)+3

a-1

=-[2(a-1)+

3

a-1

+4]
由a∈（1，+∞），a-1＞0，∴2(a-1)+

3

a-1

≥2

6

，
当且仅当a=1+

6

2

时取等号，∴

2a2+1

1-a

≤-(2

6

+4)
故x＞(

2a2+1

1-a

)max=-(4+2

6

)

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数恒成立问题，属于难题．