Question

等差数列{a_n}前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n）在二次函数f（x）=x²+c图象上．
（1）求c，a_n；
（2）若k_n=

an

2n

，求数列{k_n}前n项和T_n ．

Answer 1

分析：（1）由点（n，S_n）在二次函数f（x）=x²+c的图象上，知Sn=n2+c，再由a_n是等差数列，能求出c，a_n．
（2）由（1）知kn=

2n-1

2n

，故T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，利用错位相减法能够求出T_n．

解答：解：（1）点（n，S_n）在二次函数f（x）=x²+c的图象上，
∴Sn=n2+c，
a₁=S₁=1+c，
a₂=S₂-S₁=（4+c）-（1+c）=3，
a₃=S₃-S₂=5，
又∵a_n是等差数列，
∴6+c=6，c=0，
d=3-1=2，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，k_n=

an

2n

，
∴kn=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，…①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，…②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2×

1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．
∴T_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法和合理运用．