Question

设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值与最大值的积为________．

Answer 1

96
分析：先确定椭圆的方焦点坐标F₁（-4，0），F₂（4，0），从而可知两圆：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圆心分别为两焦点，由于点P为椭圆上任意一点，|PF₁|+|PF₂|=10，利用图形可求|PM|+|PN|的最小值与最大值，进而可求|PM|+|PN|的最小值与最大值的积
解答：∵椭圆方程为上，
∴其焦点坐标为F₁（-4，0），F₂（4，0），
∵两圆：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圆心坐标分别为（-4，0），（4，0），
∴两圆的圆心分别为椭圆的两个焦点
∵P是椭圆上一点
∴|PF₁|+|PF₂|=10，
由图可知，|PM|+|PN|的最小值为|PF₁|+|PF₂|-2=8；
|PM|+|PN|的最大值为|PC|+|PD|=|PF₁|+|PF₂|+2=12；
∴|PM|+|PN|的最小值与最大值的积为8×12=96
故答案为：96．
点评：本题考查圆的性质和应用，考查圆与圆锥曲线的综合，查数形结合的思想与分析转化的数学思想，考查学生综合分析与解决问题的能力，解题的关键在于灵活运用椭圆的定义，圆的性质．