Question

6．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（λsinα，λcosα）（λ≠0），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ），且α+β=$\frac{π}{3}$．
（1）求|$\overrightarrow{AB}$|的最小值；
（2）求$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夹角θ的大小．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的运算性质、二次函数的单调性即可得出；
（2）利用向量的夹角公式即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=（cosβ-λsinα，sinβ-λcosα），
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{（cosβ-λsinα）^{2}+（sinβ-λcosα）^{2}}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}-2λsin（α+β）}$=$\sqrt{{λ}^{2}-\sqrt{3}λ+1}$=$\sqrt{（λ-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$≥$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|的最小值是$\frac{1}{2}$；
（2）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=λsinαcosβ+λcosαsinβ=λsin（α+β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ，
$|\overrightarrow{OA}|$=$\sqrt{（λsinα）^{2}+（λcosα）^{2}}$=|λ|，$|\overrightarrow{OB}|$=$\sqrt{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β}$=1．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}λ}{|λ|×1}$=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的单调性、向量的夹角公式，考查了计算能力，属于中档题．