Question

（2012•武清区一模）已知函数f（x）=7

3

sinxcosx+7sin²x-

5

2

，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）；
（Ⅱ）若f（

a

2

-

π

6

）=1+4

3

，f（

a

2

-

5π

12

）=2，求sin（

a

2

-

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为7sin（2x-

π

6

）+1，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出增区间，由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出减区间．
（Ⅱ）由 f（

a

2

-

π

6

）=1+4

3

，求得cosa=

-4 3

7

．由f（

a

2

-

5π

12

）=2，求得sina=-

1

7

．可得a为第三象限角，故 

a

2

是第二或第四象限角．分类求出cos

a

2

和sin

a

2

的值，利用两角差的正弦公式求出sin（

a

2

-

π

3

）的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：函数f（x）=7

3

sinxcosx+7sin²x-

5

2

=

7 3

2

sin2x+7×

1-cos2x

2

-

5

2

 
=7（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）+1=7sin（2x-

π

6

）+1．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

]，k∈z．
（Ⅱ）∵f（

a

2

-

π

6

）=1+4

3

，
∴7sin[2（

a

2

-

π

6

）-

π

6

]+1=7sin（a-

π

2

）+1=-7cosa+1=1+4

3

，
∴cosa=

-4 3

7

．
∵f（

a

2

-

5π

12

）=2，∴7sin[2（

a

2

-

5π

12

）-

π

6

]+1=7sin[a-π]+1=-7sina+1=2，
∴sina=-

1

7

．
故a为第三象限角，且 2kπ+π＜a＜2kπ+

5π

4

，k∈z，故 kπ+

π

2

＜

a

2

＜kπ+

5π

8

，k∈z．
故 

a

2

是第二或第四象限角．
当 

a

2

是第二象限角时，sin 

a

2

=

1-cosa 2

=

7+4 3 14

=

2+ 3

14

，
cos 

a

2

=-

1+cosa 2

=-

7-4 3 14

=-

2- 3

14

． 
sin（

a

2

-

π

3

）=sin 

a

2

 cos

π

3

-cos

a

2

sin

π

3

=

2+ 3

14

×

1

2

-（ -

2- 3

14

）×

3

2

=

3 3 -1

2 14

．
当 

a

2

是第四象限角时，sin 

a

2

=-

1-cosa 2

=-

7+4 3 14

=-

2+ 3

14

，
cos 

a

2

=

1+cosa 2

=

7-4 3 14

=

2- 3

14

． 
sin（

a

2

-

π

3

）=sin 

a

2

 cos

π

3

-cos

a

2

sin

π

3

=-

2+ 3

14

×

1

2

-

2- 3

14

×

3

2

=

1-3 3

2 14

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调区间的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．