Question

如果实数x，y满足

x≥0 y≥0 2x+y≤2

，对任意的正数a，b，不等式ax+by≤1恒成立，则a+b的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：画出满足约束条件

x≥0 y≥0 2x+y≤2

的平面区域，求出各个角点的坐标，根据对任意的正数a，b，不等式ax+by≤1恒成立，构造关于a，b的不等式组，结合不等式的基本性质，即可得到a+b的取值范围．

解答：解：满足约束条件

x≥0 y≥0 2x+y≤2

的平面区域如下图所示，
由于对任意的正数a，b，不等式ax+by≤1恒成立，
又ax+by的最大值在右上边界处取到，即在点（0，2）与点（1，0）处取到
∴

a≤1 2b≤1

即

a≤1 b≤ 1 2

又∵a＞0，b＞0，
∴a＜a+b≤

3

2

故a+b的取值范围是(0，

3

2

]
故答案为：(0，

3

2

]

点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是解答此类问题的关键．